图5：图4系统中相关的四元数
在基础数学把你搞得晕头转向之前，你应该知道，没有必要计划自己构建实施四元数的应用程序库，你只需要知道几个要点：
这需要4个数字来完全描述一个四元数（通常是q0至q3）。
- 并非所有的四元数都是旋转四元数，有单位长度的才是旋转四元数(q02 + q12 + q22 + q32 = 1)。我们会在后续文章中对旋转四元数进行严格的讨论。
- 根据前文提到的讨论结果，这些相同的旋转可以使用欧拉角、旋转矩阵等来描述。形式之间的转换和使用多种形式比较普遍。旋转矩阵的特性就是始终唯一。欧拉角受限于万向节锁定，并且不应该用于内部计算（唯一的输入/输出的结果）。
- 你可以使用1个四元数q和方程式W = qVq*，来旋转1个向量V（四元产品和复共轭将稍后定义）。
- 一个旋转的序列可以通过四元数q1后跟q2来表示，通过计算旋转产品q=q2q1，然后应用旋转操作，可以将序列叠成单一的旋转。
我将提出的数学定义，并没有证明。如果你真的想知道基本理论，我建议你去看杰克•柯伊伯所著的一篇出色文章：四元数和旋转序列。这似乎是到目前为止对此话题最广泛通用的处理方式，即使是剩余部分也极具可读性。
请注意，旋转四元数处理α/2，并非α。我们可以定义一个旋转四元数的“q”的几个等价方程。
| q = (q0, q1, q2, q3) | (等式1) |
| q = q0 + q, 其中 q = iq1 + jq2 + kq3 | (等式2) |
| q = cos(α/2) + u sin(α/2), 其中u是旋转的矢量轴 | (等式3) |
我使用的四元数形式如：q0 = cos(α/2)。一些文本会重新排序四元数，结果是向量分量q包含于q0-2 和 q3 = cos(α/2)中。请确保您了解您的文字/软件库支持的形式。
四元数是一个超复数形式，而非一个简单实际的虚构成分，我们有一个真实和3个虚构的部分（I，J和K）。这些想象中的成分规则如下：
| i2 = j2 = k2 = ijk = -1 | (等式4) |
| ij = k = -ji | (等式5) |
| jk = i = -kj | (等式6) |
| ki = j = -ik | (等式7) |
2个四元数p和q，只有当其各个独立的组成部分相等，彼此才相等。您需要将独立的组成部分加起来才能完成2个四元数的相加。如果
| p = p0 + ip1 + jp2 + kp3; 和 | (等式8) |
| q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 | (等式9) |
那么
| p + q = (p0 + q0) + i(p1+q1) + j(p2+q2) + k(p3+q3) | (等式10) |
加法操作符合交换性原理。也就是说p+q = q+p。通过实数的标量相乘来实现四元数的乘法是无价值的，仅当四元数每个组成成分的标量相互相乘来实现。两个四元数相乘也并非如此微末。
| pq = p0q0 - p.q + p0q + q0p + p x q | (等式11) |
一个四元数乘以另一个四元数结果会是第三个四元数。注意，第一个两部分(p0q0 - p.q)构成了结果的标量部分，最后3个组成部分(p0q + q0p + p x q)构成了向量部分。四元数产品的操作不可交换pq≠qp，顺序很重要。两个四元数的相乘包括标量、叉积和dot product术语。除非你正在写你自己专有的四元数库，否则你可能永远也不会使用如上的表达式。相反，你可以使用一个四元数乘法的函数来实现四元数的相乘。
复共轭如下：
| q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 is q* = q0 - iq1 - jq2 - kq3 | (等式12) |
与此相关的公式有：
| (pq)* = q*p* | (等式13) |
| q+q* = 2q0 | (等式14) |
| q-1 = q* 适用于任何单位四元数 | (等式15) |
等式15很有趣。如果你认为一个四元数作为旋转的操作者的话，据说你可以通过反转旋转坐标轴来实现反转旋转操作。由于我们使用右手法则来描述极性旋转，所以这会显得非常有意义。反转坐标轴的方向就等同于旋转方向的反转。
上述旋转的另一个有趣的地方是四元数并不是唯一的：
任何旋转的四元数都可以乘以-1，并且仍然产生相同的旋转！这是因为我们同时扭转了角度和旋转轴线的缘故（然后互相抵消）。因此，如果一个旋转四元数的标量部分是负数的话，通过对它求反来消除不确定性是常规使用的方式。
在这一点上，你一定想知道，你究竟要选择或不选择使用四元数，而不使用旋转矩阵的原因。这里有一个优点和缺点的简要总结：
主题 四元数 旋转矩阵 存储空间 需要16字节的存储空间，在单精度浮点数（每4字节存储4个元素） 需要36字节的存储空间（每4个字节存储9个元素） 计算(2个连续旋转 4个元素，每一个都需要4次乘法和3次加法，共计28次操作 9个元素，每一个都需要3次乘法和2次加法，共计45次操作 向量旋转 通过四元数前乘、后乘来旋转一个向量需要52次操作 通过旋转矩阵旋转一个向量需要15次操作（每3个元素需要3次乘法和2次加法） 不连续性 一般来说，我们强制四元数标量的部分是正数，这可能会导致在旋转轴（翻转）的不连续性。 无 易理解性 通常需要大量研究来了解详细情况 大多数工程师可以轻松理解 转变 从旋转矩阵 = m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 我们有:
q0 = 0.5 sqrt(m11 + m22 + m33 + 1)
q1 = (m32 - m23) / (4q0)
q2 = (m13 - m31) / (4q0)
q3 = (m21 - m12) / (4q0) (等式17)
RM = | 2q02- 1 + 2q12 | 2q1q2 - 2q0q3 | 2q1q3 +2q0q2 |
| 2q1q2 + 2q0q3 | | 2q2q3 - 2q0q1 |
| 2q1q3 - 2q0q2 | 2q2q3 + 2q0q1 | 2q02-1 + 2q32 |
(等式18)
至于旋转方向，等式17和等式18是一致的。如果不是在一个固定的参数框架中旋转向量，你可以旋转参照系自身。你会使用到旋转方程等式18，在等式17中反转q1, q2 和 q3。
回到四元数旋转操作算子W = qVq*上。注意V需要按照形如[0，VX，VY，Vz]四元数的形式来表示，在等式11中定义了乘法是四元数的相乘。q*是等式12中定义的复共轭。
如果你做了大量的图形或传感器融合工作，你可能会发现自己不断地在我们已经提到过的变量表达式之间切换。你会发现记住几个高中几何课程中的定义对此很有用。
| Dot 产品 | u . v = | u | | v | cos α (等式19)
如果u和v都是单位向量，那么：u . v = cos α (等式20) |
| Cross 产品 | u x v = | u | | v | sin α n (等式21)
在这里，n是一个单位向量，
垂直于包含u和v的平面（n的极性遵守右手法则）如果u和v都是单位向量，那么：n = u x v / (sin α) (等式22) |
如果你一直关注的话，你会发现α是u到v是围绕由u x v定义的坐标轴旋转而成。很简单！就是坐标轴和角度两部分。
参考丛书：
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发表于 2013-4-2 09:38:01
沉默卡
照妖镜
